群

この記事はISer Advent Calender 2018の13日目として書かれたものです。昨日はtera_poonさんによるEMアルゴリズムについて勉強したのでまとめてみたでした。何もわからん。そして、今日の記事は完全なる穴埋めです。

群の例をひたすら挙げるだけの記事

情報数学(笑)の授業で、イメージがつかめん。具体例がわからん。ということを言っている人が居たので、ひたすら例をあげて、すっごーい！って言ってもらうために記事を書きます。でてくる用語の定義はwikiとかで調べてください。ところで一回書き終えて読み返したんですが、デスマス調が統一されてません。草。

集合hogeがfugaに関して群になる、とは、hogeという集合に対してfugaが群の演算になるという意味です。

 

巡回群

下の二種類しかなく、位数が同じ巡回群は全て同型になっている。アーベル群。

整数環\mathbb{Z}

加法に関して(無限)巡回群になっている。元一つから生成される自由群と自然に同型。

\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}

mod nの世界。加法を3+4\equiv_{5}2 のように定義。正n角形を時計回りに回転して元の状態と重なるようにする操作が、操作の合成に関してなす群と同型。

(30^\circ回転と45^\circ回転の合成が75^\circ回転となる。360^\circ回転=0^\circ回転とみなす。)

特に位数が素数のもの(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})は自明な部分群しか持たない。実は体になる。後述。

対称群S_n 交代群A_n

ちょいと説明が面倒なので、Wiki か 何か他のサイトをみてください。permutation と言った方がわかりやすい人もいるのかもしれない。

ちなみに、A_4は正四面体の点を操作前後で全ていずれかの点に重なるように(形を保って)移すような操作の群(正多面体群)と一致。S_4は立方体もしくは正八面体の正多面体群に一致。A_5は正十二面体もしくは正二十面体の正多面体群に一致する。

ところで、立方体と正八面体の正多面体群が一致するのは、正八面体の各面の中心を結ぶと立方体ができ、正十二面体と正二十面体の正多面体群が一致するのは、これも同様に、正二十面体の面の中心を結ぶと正十二面体ができるからである。

点群

分子対称性 - Wikipedia この表にいっぱい載ってます。主に化学で分子の対象性を調べ、分類するのに使います。キラリティを調べることで、旋光性の有無に関することがわかったりする。しゅごい。wikiの下の方のフラーレンとがおもしろそう。

二面体群Dn

二面体群。正n角形を巡回群と似たように回転させる操作がなす群。ただし、裏返すことが許される。位数は2n。\frac{2\pi}{n}回転する操作を\sigma、裏返す操作を\tauと書くと、群は\{ e, \sigma, \sigma^2, \cdots, \sigma^{n-1}, \tau, \tau\sigma, \tau\sigma^2, \cdots, \tau\sigma^{n-1}\} で、\tau\sigma=\sigma^{-1}\tauが成り立つ。よってアーベル群ではない。群の例として使いやすくて個人的に好き。D_3はS_3に一致。

(ただし机上に書かれた決まった線で常に裏返すことにしている。また、\tau\sigma^2と書かれているときは、二回\frac{2\pi}{n}回転をしてから裏返すことを表す。(操作とは実は写像のことなので、右から順に操作は行われるイメージでいい。)あんまり気にする必要はない。)(最も単純なアーベルでない群として知られる。)

水分子の点群C_{2v}

水分子を、操作の前後で見た目が変わらないように動かす操作の群。水分子をサクランボのように紙に書いたとき、

  • 何もしない(E)
  • 紙を裏返す(回転C_2)
  • 紙に立てた鏡で写す(右と左が入れ替わる\sigma_{v_{xz}})
  • 紙に平行な鏡で写す(手前と奥が入れ替わる\sigma_{v_{yz}})

これは実は長方形(正方形でない)を回転・裏返しで重なるようにする群(クラインの4群)に同型。位数は4。

アンモニア分子の点群C_{3v}

これも回転・鏡映で移すことを考えると、鏡の置き方が3通りで、\frac{2\pi}{3}回転軸がある。S_3に同型。位数は6。

代数的な話

線型空間

お気付きでしたでしょうか......ベクトル空間が足し算でアーベル群をなしていることに......(係数体\mathbb{K}が有限体でないなら無限群)

行列

そりゃ行列もアーベル群ですよね......

GL(n, \mathbb{K})

行列式が0でないn次正方行列のなす乗法群。アーベル群ではない。O(n), SO(n)などの部分群を持つ。巡回群はこの部分群だったりする。

(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}

1からn-1までの自然数のうち、nと互いに素なものの集合。積に関して群になる。

ex) 4\cdot7\equiv_{9}1 みたいな演算ができる。

nが素数pであるなら、(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times} = \{1, \cdots, p-1\}これは標数pの素体(特に有限体)になる。(\because ユークリッドの互除法)(例: mod 7 では、5が3の積に関する逆元になる。(5\cdot3\equiv_{7}1)) 

四元数

四元数 - Wikipedia

なんか、コンピュータグラフィックスで使えるらしいって書いてますね。知らんけど。

Aut(自己同型群)

ある集合に対して何らかの代数構造があって、その自己同型写像を集めた集合は往往にして合成に関して群になります。理由は簡単で、自己同型写像どうしの合成は自己同型で、id(恒等写像)は自己同型写像で合成に関して単位元になり、自己同型ならば逆写像は存在して、これが群の逆元になるからです。Galois理論とかでも使います。

そのほか

\mathbb{R}、\mathbb{Q}、\mathbb{C}、ルービックキューブの群論、自由群、自由アーベル群、リー群、ホモトピー群

最後に

適当極まりない記事で申し訳ないという気持ちでいっぱいです。

明日の記事は gif011010701 さんの偏愛的音楽入門です。全部埋まったようですね、わーい！